03 - FIRE的数学原理
概述
FIRE的魅力在于它可以被精确计算。本章将深入讲解FIRE背后的数学原理，让你理解这些数字从何而来。
核心公式一：4%法则
起源：三一研究
1998年三一大学研究（Trinity Study）：
- 研究了1926-1995年的美国股票和债券数据
- 测试不同提取率下，投资组合能持续多少年
- 结论：4%的年提取率，有95%概率维持30年以上
4%法则的含义
如果每年从投资组合中提取不超过4%，你的钱大概率永远花不完
数学表达：
年支出 = 投资组合 × 4%
投资组合 = 年支出 ÷ 4% = 年支出 × 25
为什么是4%
假设：
- 股票长期年化收益：7-10%
- 通胀率：2-3%
- 实际收益：5-7%
4%提取率留有1-3%的安全边际，用于：
- 应对市场波动
- 保持本金增长
- 对冲通胀
4%法则的假设条件
| 假设 | 说明 | 中国适用性 |
|---|---|---|
| 股债配置 | 50-75%股票 | 需要调整 |
| 30年周期 | 原研究基准 | FIRE可能需要50年 |
| 美国市场 | 历史数据基础 | 需要本土化 |
| 固定提取 | 每年相同金额 | 可以动态调整 |
核心公式二：25倍法则
推导
FIRE数字 = 年支出 × 25
因为：4% = 1/25
所以：投资组合 = 年支出 ÷ 4% = 年支出 × 25
25倍法则速算表
| 月支出 | 年支出 | FIRE数字(25倍) | FIRE数字(30倍-保守) |
|---|---|---|---|
| 5,000 | 60,000 | 150万 | 180万 |
| 8,000 | 96,000 | 240万 | 288万 |
| 10,000 | 120,000 | 300万 | 360万 |
| 15,000 | 180,000 | 450万 | 540万 |
| 20,000 | 240,000 | 600万 | 720万 |
| 30,000 | 360,000 | 900万 | 1080万 |
为什么有人用30倍或33倍
| 倍数 | 提取率 | 安全性 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 25倍 | 4.0% | 标准 | 30年退休期 |
| 28倍 | 3.5% | 保守 | 40年退休期 |
| 30倍 | 3.3% | 更保守 | 50年退休期 |
| 33倍 | 3.0% | 最保守 | 极长退休期/高风险厌恶 |
建议：年轻FIRE（40岁前）建议用28-30倍
核心公式三：复利公式
基础复利公式
FV = PV × (1 + r)^n
FV = 终值（Future Value）
PV = 现值（Present Value）
r = 年收益率
n = 年数
复利的威力
示例：10万本金，8%年化收益
| 年数 | 终值 | 增长倍数 |
|---|---|---|
| 10年 | 21.6万 | 2.16倍 |
| 20年 | 46.6万 | 4.66倍 |
| 30年 | 100.6万 | 10.06倍 |
| 40年 | 217.2万 | 21.72倍 |
72法则
快速估算翻倍时间：
翻倍年数 ≈ 72 ÷ 年收益率(%)
| 年收益率 | 翻倍时间 |
|---|---|
| 6% | 12年 |
| 8% | 9年 |
| 10% | 7.2年 |
| 12% | 6年 |
核心公式四：储蓄率与退休年限
推导过程
假设：
- 年收入为I
- 储蓄率为s
- 年支出为I×(1-s)
- 投资收益率为r
- FIRE数字 = 年支出 × 25 = I×(1-s) × 25
每年储蓄额 = I × s
需要计算：多少年后，储蓄的累积值达到FIRE数字
简化公式
工作年限 ≈ 25 × (1-s) / s × f(r)
其中f(r)是收益率修正因子
储蓄率与退休年限对照表
假设投资年化收益5%（保守）：
| 储蓄率 | 工作年限 | 说明 |
|---|---|---|
| 5% | 66年 | 几乎不可能 |
| 10% | 51年 | 传统退休 |
| 15% | 43年 | 稍早退休 |
| 20% | 37年 | 早几年 |
| 25% | 32年 | 明显提前 |
| 30% | 28年 | 50岁左右 |
| 35% | 25年 | 45-50岁 |
| 40% | 22年 | 45岁左右 |
| 50% | 17年 | FIRE入门 |
| 60% | 12.5年 | 快速FIRE |
| 70% | 8.5年 | 极速FIRE |
| 80% | 5.5年 | 极端FIRE |
| 90% | 3年 | 理论极限 |
关键洞察
-
储蓄率比收入重要
- 储蓄率从10%到50%，工作年限从51年降到17年
- 节省34年！
-
双重效应
- 高储蓄率 = 更多投资 + 更低支出需求
- 支出越低，FIRE数字越小
-
边际效应递减
- 从10%到20%：节省14年
- 从70%到80%：节省3年
- 前期提升储蓄率效果最明显
核心公式五：安全提取率(SWR)
定义
安全提取率（Safe Withdrawal Rate）： 每年可以从投资组合中提取的最大比例，同时保证资金不会在预期时间内耗尽。
影响SWR的因素
| 因素 | 影响 |
|---|---|
| 退休时长 | 越长，SWR越低 |
| 资产配置 | 股票比例高，SWR可能更高但波动大 |
| 市场环境 | 退休初期遇熊市，SWR需降低 |
| 是否调整 | 动态调整可提高SWR |
| 其他收入 | 有社保/兼职，SWR可提高 |
不同场景的建议SWR
| 场景 | 建议SWR | 对应倍数 |
|---|---|---|
| 传统退休(30年) | 4.0% | 25倍 |
| 提前退休(40年) | 3.5% | 28.5倍 |
| 早期退休(50年) | 3.25% | 31倍 |
| 极早退休(60年) | 3.0% | 33倍 |
| 有社保补充 | 4.5-5% | 20-22倍 |
收益序列风险
问题：退休初期遇到市场大跌怎么办？
收益序列风险（Sequence of Returns Risk）：
- 同样的平均收益率
- 如果负收益集中在退休初期
- 资金耗尽概率大幅增加
示例：
场景A：退休初期年收益 +10%, +8%, -20%, -15%
场景B：退休初期年收益 -15%, -20%, +8%, +10%
即使10年平均收益相同，场景B的资金消耗更快
应对策略：
- 预留2-3年现金/债券缓冲
- 退休初期降低提取率
- 保持灵活支出能力
- 保持一定收入能力
实战计算示例
案例：30岁程序员小王
当前状况：
- 年龄：30岁
- 月收入：25,000元
- 月支出：10,000元
- 现有资产：50万
- 目标：45岁FIRE
Step 1：确定FIRE数字
月支出：10,000元
年支出：120,000元
FIRE数字（28倍，保守）：336万
Step 2：计算储蓄率
月储蓄：25,000 - 10,000 = 15,000元
年储蓄：180,000元
储蓄率：180,000 / 300,000 = 60%
Step 3：计算达成时间
使用复合增长公式，假设年化收益8%：
需要积累：336万 - 50万 = 286万（净增）
但考虑复利，实际需要更少的储蓄额
使用Excel或计算器：
FV = 336万, PV = 50万, PMT = 15万, r = 8%
求解n ≈ 10.8年
结论：小王约41岁可以达到FIRE
Step 4：敏感性分析
| 变量调整 | 达成年龄 |
|---|---|
| 基准场景 | 41岁 |
| 收益率降到6% | 43岁 |
| 月支出增加到12000 | 43岁 |
| 月储蓄增加到18000 | 39岁 |
中国特色调整
养老金纳入计算
如果你在60岁后能领取养老金，可以降低FIRE数字：
调整后FIRE数字 = 原FIRE数字 - 养老金现值
养老金现值 = 年养老金 × 年金现值系数
示例：
- 预计60岁月领养老金：5000元
- 年养老金：60,000元
- 假设领20年，折现率5%
- 现值约75万
如果目标40岁FIRE，这75万需要从40岁折现到当前 实际可减少的FIRE数字约30-40万
A股市场收益率假设
| 假设类型 | 年化收益 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 乐观 | 10% | 长期牛市 |
| 中性 | 7-8% | 均衡配置 |
| 保守 | 5-6% | 高债券配置 |
| 极保守 | 4% | 近乎无风险 |
建议：规划时使用保守假设（6-7%），实际可能更好
常用计算工具
Excel/WPS公式
计算达成时间（已知储蓄额和目标）：
=NPER(收益率, -年储蓄额, -现有资产, 目标金额)
计算FIRE数字（已知年支出）：
=年支出*25
计算年支出上限（已知资产）：
=总资产*0.04
在线计算器推荐
- Networthify - 简单直观
- cFIREsim - 蒙特卡洛模拟
- FireCalc - 历史回测
- 中文版：各理财APP内置计算器
本章小结
核心公式回顾
| 公式 | 表达式 | 用途 |
|---|---|---|
| 4%法则 | 年提取 = 资产×4% | 计算安全提取额 |
| 25倍法则 | FIRE数字 = 年支出×25 | 计算目标资产 |
| 复利公式 | FV = PV×(1+r)^n | 计算资产增长 |
| 72法则 | 翻倍年数 = 72÷收益率 | 快速估算 |
关键数字记忆
- 4%：安全年提取率
- 25倍：年支出到FIRE数字的乘数
- 50%储蓄率：约17年达到FIRE
- 72：用于计算翻倍时间
行动建议
- 计算你的当前储蓄率
- 确定你的目标年支出
- 计算你的FIRE数字
- 估算你的达成时间
- 做敏感性分析（不同收益率/支出）
计算练习
用你自己的数据计算：
- 我的月支出是______元，年支出是______元
- 我的FIRE数字（25倍）是______万
- 我的月储蓄是______元，储蓄率是______%
- 我现有可投资资产______万
- 假设年化收益_____%，预计______年达到FIRE
"FIRE的美妙之处在于，它不是信仰，而是数学。数学不会骗你。"